Bryły obrotowe

Question

1. Czworościan foremny ma objętość równą 2√2. Jaką długość ma krawędź tego czworościanu?
2. Trójkąt równoramienny o podstawie 6cm i długości ramion 5cm obracamy wokół jednego z ramion. Otrzymaną w ten sposób bryłę dzielimy na dwa stożki. Podaj długość promienia podstawy i długość tworzącej każdego z tych stożków.
3. Z napełnionego kieliszka w kształcie stożka odlano połowę zawartości. Do jakiej wysokości sięga płyn który pozostał w kieliszku?
kielich w kształcie V; wysokość tego V to 9cm, a promień okręgu na górze to 8cm
4. Bryła przedstawiona na rysunku to stożek ścięty. Jaką objętość ma ta bryła>
wskazówka: Skorzystaj z podobieństwa trójkątów prostokątnych.
na dole promień to 10cm, a na górze 6 cm, wysokość tego ściętego stożka to 6 cm.

Answer 1

1.
Wprowadźmy oznaczenia:
 a - krawędź czworościanu
 h - wysokość ściany czworościanu
 H - wysokość czworościanu
 p - pole podstawy (jednej ze ścian)
 V - objętość czworościanu
 V = p * H * ⅓

 h= a√3*½
 Więc p = (a*h)/2 = (a²√3)/4
 H = √(a²- (⅔*h)²)= √(a²-(4*3a²)/36 = √(a²-a²/3) = a√⅔

 V = ((a²√3)/4) *a√⅔ *⅓ = (a³√6)/(12√3) = a³√2/12

 Z zadania wiemy że V = 2√2
 Więc a³√2/12 = 2√2
 a³ = 24
 a = 2√3

 Odp. bok tego czworościanu ma długość 2√3.

2.  
wysokość kazdego stożka=długości ramienia trójkąta, czyli h każdego stożka=5cm

 tworzaca 1 stożka=drugiemu ramieniowi , czyli 5cm
 tworzaca drugiego stożka =podstawie trójkąta=6cm

 promień podstaw obu stożków = wysokości na to ramię, wokół którego dokonujemy obrotu
 musisz tę wysokość obliczyć z pola Δ

 pole=½ah
 h² Δ=5²-3²
 h²=25-9
 h=4cm

 pole=½×6×4=12cm²

 12=½×5h
 h=12:2,5
 h=4,8cm

3.
V stożka=1/3*Pp*H
 Pp= pi*rkw (kw-do potęgi drugiej)
 r= 8cm
 H= 9cm
 V= 1/3*pi*8kw.*9
 V= 192pi (pi=ok. 3.14)
 V=ok. 603cm3
 1/2 V kieliszka= 96pi=301.5cm3
 H1- wysokość, do której sięga płyn w kieliszku po odlaniu
 r1- promień mniejszej podstawy (ta płaszczyzna, która powstała po odlaniu płynu-
 w połowie wys. kieliszka)

 teraz robimy układ równań (zrób sobie klamerki, bo ja tu nie mogę:
 V1=1/3*pi*r1kw*H1
 8/9=r1/H1

 96pi=1/3*pi*r1kw*H1 /:pi
 8/9=r1/H1

 1/3r1kw*H1=96
 r1=8H1/9

 1/3*(8H1/9)kw*H1=96
 r1=8H1/9

 1/3*64H1kw/81*H1=96 /*3
 64H1kw/81*H1=288
 0,8H1sz=288 /:0,8 (sz- do trzeciej potęgi)
 H1sz=360 /pierwiastek trzeciego stopnia
 H1=ok. 7,1cm

 Płyn, który pozostał w kieliszku sięga do wys. 7,1cm ]

4.
h - wysokość małego stożka
 h:6 = h+6:10
 h = 9
 V₁=π6² * 9 * 1/3 = 36π *3 = 108π
 V₂=π10² * 15 * 1/3 = 100π * 5 = 500π

 V = 500π-108π = 392π [j³]

 Odp: Objętość tej bryły to 392 j³