Dana jest prosta l:y=2x+1 i punkt P=(-2,3) Napisz równania prostej k prostopadłej do l i przechodzącej przez P

Question

Dana jest prosta l: y=2x+1 oraz punkt P=(-2,3). Napisz równania prostej k prostopadłej do prostej l i przechodzącej przez punkt P.

Answer 1

Zad. 1
Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, czyli jeśli szukana prosta y = a₂x + b₂ ma być równoległa do danej prostej y = a₁x + b₁ to a₁ = a₂, zatem szukana prosta będzie miała postać: y = a₁x + b₂.
Współczynnik b₂ wyznaczymy korzystając z tego, że P = (x, y) należy do szukanej prostej, czyli współrzędne tego punktu spełniają równanie szukanej prostej.
 
a)
Dana prosta l : y = 2x + 1 zatem a₁ = 2
Szukana prosta k : y =a₂x + b₂

a₂ = a₁ = 2
Zatem prosta k ma postać: y = 2x + b₂
P = (- 1; 4) ∈ k
Podstawiamy współrzędne punktu P do równania i otrzymujemy:
4 = 2 · (- 1) + b₂
4 = - 2 + b₂
b₂ = 4 + 2 = 6
Zatem równanie szukanej prostej ma postać: y = 2x + 6
 
b)
prosta l: 2x + y + 4 = 0, czyli y = - 2x - 4 zatem a₁ = - 2
prosta k: y = a₂x + b₂

a₂ = a₁ = - 2
prosta k: y = - 2x + b₂
P = (- 1; 4) ∈ k
4 = - 2 · (- 1) + b₂
4 = 2 + b₂
b₂ = 4 - 2 = 2
y = - 2x + 2
 
c)
prosta l : y = 1 zatem a₁ = 0
prosta k : y = a₂x + b₂
k \parallel l
a₂ = a₁ = 0
prosta k : y = 0 · x + b₂, czyli y = b₂
P = (- 1; 4) ∈ k
4 = b₂
y = 4