Oblicz długość odcinka PB.

Question

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość 18 cm, a wysokość CD jest równa 15 cm.
Punkt D dzieli bok AB tak, że AD : DB =1: 2 . Przez punkt P leżący na odcinku DB
poprowadzono prostą równoległą do prostej CD, odcinając od trójkąta ABC trójkąt, którego
pole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta ABC. Oblicz długość odcinka PB.

Answer 1

ΔABC - trójkąt ostrokątny
AB - podstawa trójkąta
CD - wysokość trójkąta
|AB| = 18 cm a wysokość
|CD| = 15 cm
Punkt D dzieli tak bok AB, tak że |AD| : |DB| = 1 : 2
P - punkt leżący na odcinku DB
PE II DC
PΔ - pole trójkąta
PΔPBE = ¼ * PΔABC
|PB| = ?
k - skala podobieństwa
(patrz załącznik)

|AD| : |DB| = 1 : 2 stąd
|DB| = 2 *|AD|

|AB| = |AD| + |DB| stąd
18 = |AD| + 2 * |AD|
3 * |AD| = 18 /:3
|AD| = 6 cm

|DB| = 2 * |AD|
|DB| = 2 * 6 = 12 cm

PΔABC = ½ * |AB| * |DC|
PΔABC = ½ * 18 * 15 = 135 cm²

PΔPBE = ¼ * PΔABC
PΔPBE = ¼ * 135 = ¹³⁵/₄ cm²

I sposób
ΔPBE i ΔDBC są podobne
PΔDBC = ½ * |DB| * |DC|
PΔDBC = ½ * 12 * 15 = 90 cm²
"Stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa", stąd
k² = ΔPBE / PΔDBC
k = √ΔPBE / PΔDBC = √¹³⁵/₄ : 90 = √¹³⁵/₄ * ¹/₉₀ = √⅜ = √3 / √8 = √3 / √4*2 = √3 / 2√2 = √3 * √2 / 2√2 * √2 = √6 / 4
|PB| / |DB| = k
|PB| = k * |DB|
|PB| = √6 / 4 * 12 = 3√6 cm

II sposób
PΔPBE = ¹³⁵/₄ cm²
PΔPBE = ½ * |PB| * |PE|
½ * |PB| * |PE| = ¹³⁵/₄ /*2
|PB| * |PE| = ¹³⁵/₂
ΔPBE i ΔDBC są podobne, stąd
|PE| / |PB| = |CD| /|DB|
|PE| / |PB| = 15 / 12
|PE| = ⁵/₄ * |PB|
Podstawiamy tę wartość do poprzedniego równania :
|PB| * ⁵/₄ * |PB| = ¹³⁵/₂
|PB|² * ⁵/₄ = ¹³⁵/₂ /*⅘
|PB|² = ¹³⁵/₂ * ⅘
|PB|² = 54
|PB| = √54 = √9 * 6 = 3√6 cm

Odp. Długość odcinka PB wynosi 3√6 cm.